در حال پالایش مطالب میباشیم تا اطلاع ثانوی مطلب قرار نخواهد گرفت.
    توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    علامت اشتراک و اجتماع در ریاضی

    1 بازدید

    علامت اشتراک و اجتماع در ریاضی را از سایت پشتوک دریافت کنید.

    اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

    مرورگر شما از این ویدیو پشتیبانی نمیکنید.

    در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس به بررسی انواع مجموعه‌ها و بیان تعریف جامعی از آن‌ها پرداخته شد. همانطور که بیان شد، یک مجموعه نشان دهنده همه اشیایی است که با یکدیگر صفتی مشترک دارند. بنابراین برای مشخص کردن یک مجموعه ابتدا نیاز به جمع‌آوری اشیایی داریم که در یک ویژگی بارز و مطلوب ما، تفاهم داشته باشند. این مطلب به بررسی اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها در ریاضیات می‌پردازد. در انتهای مطلب نیز تعارفی مانند مجموعه تهی و مجموعه جهانی مورد مطالعه قرار می‌گیرند.

    تعریف مجموعه

    همانطور که بیان شد، یک مجموعه شامل تعدادی ابزار، مواد، اعداد، اشیا و .. است که در ویژگی خاصی اشتراک داشته باشند. برای مثال لباس‌هایی که شما می‌پوشید یک مجموعه را تشکیل می‌دهند. این مجموعه شامل جوراب، کفش، شلوار، پیراهن، تیشرت و سایر موارد است. برای مثال یک مجموعه شامل لباس‌های مورد نیاز، در شکل زیر نشان داده شده است.

    همانطور که در شکل بالا نشان داده شده، اعضای یک مجموعه را درون علامت آکولاد به شکل {} قرار می‌دهند. علاوه بر شکل بالا، مجموعه را می‌توان به صورت حروف و اعداد نیز نمایش داد. برای مثال مجموعه لباس‌هایی که شما می‌پوشید را می‌توان به فرم زیر نمایش داد.

    {کفش، جوراب، پیراهن، شلوار و …}

    به عنوان یک مثال از مجموعه‌هایی که با استفاده از اعداد بیان می‌شوند می‌توان به مجموعه شامل تمام اعداد اشاره کرد که به صورت زیر نمایش داده می‌شوند.

    مثال دیگری از مجموعه اعداد، اعداد اول هستند. بنابراین مجموعه تمام اعداد اول را می‌توان به شکل زیر نشان داد.

    توجه کنید که این مثال را می‌توان برای تمام مجموعه اعداد مانند مجموعه اعداد گویا، مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد مختلط نیز به صورت دقیق مورد بررسی قرار داد.

    در ادامه برای بررسی مفاهیم اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها مثالی از مجموعه چند دوست آورده می‌شود و مفاهیم مختلف را با استفاده از مجموعه‌های معرفی شده در این بخش، مورد مطالعه قرار می‌دهیم.

    مجموعه دوستان

    فرض کنید که یک مجموعه‌ای شامل ده تا از بهترین دوستان شما را به شکل زیر بنویسیم. البته شما می‌توانید این اسامی را با نام بهترین دوستان خود عوض کنید و ادامه مطلب را با مجموعه‌ای شامل نام دوستان خود به همراه ما ادامه بدهید!

    {شیدا، پریسا، مریم، نفیسه، صحاح، شقایق، الهه، پریا، فرزانه، محدثه}

    هر یک از نام‌های بالا به عنوان یک عضو از مجموعه دوستان ما شناخته می‌شوند. حال باید اشاره کنیم که چهار عضو این مجموعه دوستان شما، فوتبال بازی می‌کنند. این مجموعه را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

    فوتبال = {شیدا، پریسا، مریم، نفیسه}

    مجموعه بالا اینگونه خوانده می‌شود؛ مجموعه فوتبال از چهار عضو به نام‌های شیدا، پریسا، مریم و نفیسه تشکیل شده‌اند. به صورت مشابه می‌توان مجموعه‌ای شامل دوستانی که تنیس بازی می‌کنند را نیز به شکل زیر نمایش داد.

    تنیس = {شیدا، پریسا، فرزانه}

    در واقع  مجموعه تنیس از سه عضو به نام‌های شیدا، پریسا و فرزانه تشکیل شده است.

    این دو مجموعه را می‌توان به شکل زیر درون دو دایره نیز نمایش داد. این نمودار به «نمودار وِن» (Venn Diagram) یا نمودار مجموعه معروف است.

    اجتماع

    در این بخش، شما می‌توانید لیستی از دوستان خود که فوتبال یا تنیس بازی می‌کنند را بیان کنید. توجه کنید که مهم‌ترین عبارت در جمله قبل، عبارت «یا» است. در واقع مجموعه شامل فوتبال یا تنیس نشان دهنده «اجتماع» (Union) است و برای نمایش آن از نماد ریاضی ∪ استفاده می‌شود.

    بنابراین با توجه به توضیحاتی که در بالا داده شد، مجموعه دوستانی که فوتبال یا تنیس بازی می‌کنند را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

    فوتبال ∪ تنیس = {شیدا، پریسا، فرزانه، مریم، نفیسه}

    توجه کنید که همه افراد موجود در کره زمین در این لیست نیستند و این لیست تنها شامل دوستان شما است که فوتبال یا تنیس بازی می‌کنند. عبارت «یا» نشان می‌دهد که اسامی که در این لیست هستند سه حالت دارند. حالت اول فقط فوتبال بازی می‌کنند. حالت دوم فقط تنیس بازی می‌کنند. حالت سوم تنیس و فوتبال را همزمان بازی می‌کنند. این موضوع را با استفاده از نمودار ون یا نمودار مجموعه می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

    توجه کنید که نمودار ون یکی از بهترین شیوه‌های نمایش مجموعه‌ها را در اختیار ما قرار می‌دهد و با استفاده از این نمودار می‌توانیم بسیاری از سوالات مربوط به مجموعه‌ها را به صورت دقیق مورد بررسی قرار دهیم.

    با استفاده از این نمودار به راحتی می‌توانید متوجه شوید که کدام یک از دوستان فقط فوتبال و کدامیک فقط تنیس بازی می‌کنند. همچنین دوستانی که هر دو ورزش تنیس و فوتبال را انجام می‌دهند نیز به راحتی قابل بیان هستند. تمام این اطلاعات از یک نمودار بسیار کوچک به دست می‌آید. در ادامه به بررسی سایر مفاهیم مانند اشتراک و تفاضل پرداخته می‌شود.

    اشتراک

    اشتراک حالتی را نشان می‌دهد که شما در هر دو مجموعه قرار دارید و یا در مثال بالا، اشتراک دوستانی را مشخص می‌کند که تنیس و فوتبال بازی می‌کنند. توجه کنید که مهم‌ترین عبارت در جملات قبل «و» است. عبارت «و» نشان می‌دهد که ما به دنبال کسانی هستیم که به صورت همزمان فوتبال و تنیس بازی می‌کنند.

    در مثال بالا شیدا و پریسا کسانی هستند که هم فوتبال و هم تنیس بازی می‌کنند. این حالت را اشتراک می‌نامند. اشتراک در ریاضیات با استفاده از نماد ∩ نشان داده می‌شود. اشتراک دو مجموعه معرفی شده یعنی مجموعه دوستانی که فوتبال بازی می‌کنند و مجموعه دوستانی که تنیس بازی می‌کنند را می‌توان به شکل زیر نشان داد.

    فوتبال ∩ تنیس = {شیدا، پریسا}

    این مفهوم را می‌توان با استفاده از نمودار ون نیز مورد مطالعه قرار داد. نمودار ون مربوط به اشتراک دو مجموعه فوتبال و تنیس به شکل زیر نشان داده شده است.

    تفاضل

    علاوه بر دو حالتی که در بالا معرفی شد یعنی اشتراک و اجتماع دو مجموعه، حالتی نیز حضور دارد که در آن تفاضل دو مجموعه را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.

    توجه کنید که با استفاده از تفاضل می‌توان مجموعه‌ای از دوستان را نشان داد که فوتبال بازی می‌کنند ولی تنیس بازی نمی‌کنند. برای به دست آوردن این مجموعه باید مجموعه فوتبال را منهای تنیس کرد یا به عبارت دیگر مجموعه تنیس را از مجموعه فوتبال کم کرد. این موضوع را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بیان کرد.

      {مریم، نفیسه} = تنیس – فوتبال

    این موضوع را می‌توان با استفاده از نمودار ون نیز به شکل زیر بیان کرد.

    بنابراین به صورت خلاصه می‌توان بیان کرد که علامت ∪ نشان دهنده اجتماع دو مجموعه است و مجموعه‌ای شامل اعضای هر دو مجموعه را نشان می‌دهد. همچنین ∩ نشان دهنده اشتراک دو مجموعه است و مجموعه‌ای شامل اعضای مشترک بین دو مجموعه را نشان می‌دهد. مفهوم دیگری که بیان شد تفاضل دو مجموعه بود که با نماد – نشان داده شد و مفهوم آن در قالب مثال به صورت دقیق مورد بررسی قرار گرفت.

    سه مجموعه

    در ادامه، مفاهیم موجود در مجموعه‌ها را برای حالتی که سه مجموعه حضور دارند مورد بررسی قرار می‌دهیم و نمودار وِن مربوط به آن‌ها را با جزئیات بیان می‌کنیم.

    در این بخش، مجموعه سوم شامل دوستانی هستند که والیبال بازی می‌کنند. این مجموعه به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

    والیبال = {شیدا، شقایق، فرزانه}

    در ادامه و برای آنکه بتوانیم به شکل ریاضی، مجموعه‌ها را بیان کنیم، به هر کدام از مجموعه‌ها یک نام اختصاص می‌دهیم. مجموعه فوتبالیست‌ها را با نماد S، مجموعه بازیکنان تنیس را با نماد T و مجموعه والیبالیست‌ها را با نماد V نمایش می‌دهیم.

    بنابراین با توجه به توضیحاتی بیان شده، نمودار وِن این سه مجموعه به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

    با استفاده از این نمودار می‌توان دریافت که شیدا کسی هست که فوتبال، والیبال و تنیس بازی می‌کند. فرزانه تنیس و والیبال بازی می‌کند. همچنین مریم و نفیسه تنها فوتبال بازی می‌کنند و ورزش‌های والیبال و تنیس را انجام نمی‌دهند. نکته دیگری که از نمودار بالا می‌توان دریافت این است که هیچ فردی وجود ندارد که فقط ورزش تنیس را انجام دهد.

    در ادامه با استفاده از مفهوم اشتراک و اجتماع به صورت دقیق به بررسی این سه مجموعه پرداخته می‌شود.

    به عنوان اولین مثال، اشتراک دو مجموعه فوتبال و والیبال را بررسی می‌کنیم که می‌توان این مجموعه را به شکل زیر نمایش داد.

    {شیدا} = S ∩ V

    این موضوع را می‌توان به کمک نمودار وِن نیز به شکل زیر نمایش داد.

    همانطور که مشاهده می‌شود، فهم دقیق اجتماع، اشتراک و تفاضل این مجموعه‌ها به کمک نمودار ون به سادگی انجام می‌شود و توصیه ما رسم این نمودار در مثال‌های مختلف برای فهم دقیق مسئله است. همچنین اجتماع دو مجموعه والیبال و تنیس را نیز می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

    {شقایق، فرزانه، شیدا، پریسا} = T ∪ V

    در ادامه و به عنوان یک مثال پیشرفته، مجموعه بازیکنان تنیس را از اشتراک دو مجموعه فوتبال و والیبال کم کنید. برای این منظور ابتدا اشتراک دو مجموعه فوتبال و والیبال را محاسبه می‌کنیم. این مورد در قسمت قبل به شکل زیر محاسبه شد.

    {شیدا} = S ∩ V

    در ادامه مجموعه دوستانی که تنیس بازی می‌کنند را از این مجموعه کم می‌کنیم. این مجموعه را می‌توان به شکل زیر با استفاده از نمودار ون نمایش داد.

    شیوه نمایش ریاضی این مجموعه نیز به شکل زیر است.

     { } = S ∩ V) – T)

    بنابراین همانطور که در شکل و عبارت بالا مشاهده می‌شود، مجموعه بالا شامل هیچ عضوی نیست. این مجموعه را مجموعه تهی می‌نامند. و آن را با نماد { } نمایش می‌دهند.

    مجموعه جهانی

    مجموعه جهانی، مجموعه‌ای است که تمام اعضایی که برای ما مورد اهمیت هستند را در بر می‌گیرد. توجه کنید که این مجموعه را با نماد U نشان می‌دهند و شما باید احتیاط کنید که حرف U را با نماد ∪ (اجتماع دو مجموعه) اشتباه نگیرید.

    در ادامه مثالی که در ابتدای این مطلب بیان شد را در نظر بگیرید. مجموعه جهانی در این مثال شامل بهترین دوستان شما هستند. این مجموعه جهانی را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

    {شیدا، پریسا، مریم، نفیسه، صحاح، شقایق، الهه، پریا، فرزانه، محدثه} = U

    نمایش مجموعه جهانی در نمودار وِن با استفاده از یک مستطیل اطراف مجموعه‌ها انجام می‌شود. این موضوع در شکل زیر به خوبی به تصویر کشیده شده است.

    بنابراین با استفاده از مجموعه جهانی، شما تمام ۱۰ دوست صمیمی خود (شامل دوستانی که ورزش می‌کنند و یا آن‌هایی که ورزش نمی‌کنند) را مشاهده می‌کنید.

    عملیات مختلف مجموعه‌ها شامل اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌‌ها را می‌توان روی مجموعه جهانی نیز اجرا کرد. برای مثال مجموعه دوستانی که فوتبال بازی می‌کنند را از مجموعه جهانی کم کنید. این موضوع به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

    {صحاح، شقایق، الهه، پریا، فرزانه، محدثه} = U – S

    توجه کنید که این مجموعه را می‌توان به دو صورت بیان کرد. حالت اول این است که U – S را به فرم مجموعه جهانی منهای مجموعه دوستان فوتبالیست بیان کنیم و حالت دوم این است که U – S را برابر با همه دوستانی که فوتبال بازی نمی‌کنند، در نظر بگیریم. هر دو این حالات یک معنا را نشان می‌دهند و با یکدیگر برابر هستند.

    این مجموعه را با استفاده از نمودار ون نیز می‌توان به سادگی و مطابق با شکل زیر بیان کرد.

    متمم یک مجموعه

    متمم یک مجموعه نیز یکی از تعاریف مهم در مجموعه‌ها است. برای مثال متمم مجموعه S نشان دهنده تمام اعضایی است که عضو مجموعه جهانی هستند و درون مجموعه S قرار نمی‌گیرند. در این مثال متمم مجموعه S، تمام دوستان صمیمی شما که فوتبال بازی نمی‌کنند را نشان می‌دهد (توجه شود که S مجموعه دوستان صمیمی شما است که فوتبال بازی می‌کنند).

    متمم را با استفاده از نماد C در بالای مجموعه نیز نمایش می‌دهند. برای مثال متمم مجموعه S را به شکل زیر می‌توان نمایش داد.

    همانطور که بیان شد، نماد بالا نشان دهنده تمام اعضایی است که عضو مجموعه S نباشند. اگر مجموعه S را دوستانی که فوتبال بازی می‌کنند در نظر بگیریم، مجموعه متمم S را می‌توان با استفاده از نمودار ون به شکل زیر نمایش داد.

    شیوه نمایش این اعضا نیز به شکل زیر است.

    {صحاح، شقایق، الهه، پریا، فرزانه، محدثه} = U – S

    نکته بسیار مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که متمم مجموعه S، دقیقا برابر با تفاضل مجموعه S از مجموعه جهانی است که با نماد U – S نمایش داده می‌شود.

    بنابراین به صورت خلاصه می‌توان بیان کرد که اجتماع با نماد ∪ نشان داده می‌شود و اجتماع دو مجموعه، اعضای هر دو مجموعه را در بر می‌گیرد. همچنین می‌توان نشان داده که ∩ اشتراک دو مجموعه را بیان می‌کند و تنها شامل اعضایی است که در هر دو مجموعه حضور داشته باشند.

    علاوه بر اجتماع و اشتراک، تفاضل و متمم نیز دو مفهوم کلی و مهم در مورد مجموعه‌ها هستند. تفاضل را با نماد – نمایش می‌دهند و تفاضل دو مجموعه شامل اعضایی است که در یکی از این مجموعه‌ها وجود دارند ولی در دیگری حضور ندارند. متمم نیز مفهوم بسیار مهمی در مجموعه‌ها را نشان می‌دهد. متمم مجموعه S شامل تمام اعضایی است که عضو مجموعه S نیستند.

    نکته دیگری که در این مطلب به صورت دقیق مورد بررسی قرار گرفت، تعریف دو مجموعه تهی و جهانی است. مجموعه تهی، مجموعه‌ای است که در آن هیچ عضوی وجود ندارد و با نماد { } نشان داده می‌شود. مجموعه جهانی نیز شامل مجموعه‌ای است که تمام اعضای دلخواه ما (مثلا تمام دوستان صمیمی) را در بر می‌گیرد.

    در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

    ^^

    فیلم‌ های آموزش اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

    فیلم آموزشی تعریف و ویژگی‌های مجموعه

    فیلم آموزشی اجتماع مجموعه‌ها

    فیلم آموزشی اشتراک مجموعه‌ها

    فیلم آموزشی تفاضل مجموعه‌ها

    فیلم آموزشی مفاهیم مجموعه‌ها برای سه مجموعه

    فیلم آموزشی مجموعه جهانی

    فیلم آموزشی متمم مجموعه

    منبع مطلب : blog.faradars.org

    مدیر محترم سایت blog.faradars.org لطفا اعلامیه سیاه بالای سایت را مطالعه کنید.

    اشتراک

    مجموعهٔ شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها می‌نامیم و آن را با نماد ∩ نشان می‌دهیم مثل : A∩B

    تعریف[ویرایش]

    اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و X S {\displaystyle X\in S} عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با S {\displaystyle \bigcap S} یا A S A {\displaystyle \bigcap _{A\in S}A} نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

    مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

    اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسئله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود ϕ := U {\displaystyle \bigcap \phi :=U} .

    اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با A B {\displaystyle A\cap B} نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با A B C {\displaystyle A\cap B\cap C} ،... و اشتراک n مجموعه A 1 , A 2 , , A n {\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}} را با A 1 A 2 A n {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}} نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

    خواص اشتراک[ویرایش]

    مهم‌ترین ویژگی اشتراک دسته‌ای از مجموعه‌ها این است که زیرمجموعه همه آن‌هاست. فی‌الواقع اشتراک آنها بزرگ‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

    اگر اجتماع دو مجموعه A و B را با A B {\displaystyle A\cup B} نشان دهیم، به ازای هر سه مجموعه A، B و C داریم:

    منابع[ویرایش]

    منبع مطلب : fa.wikipedia.org

    مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه سیاه بالای سایت را مطالعه کنید.

    اصل موضوع اجتماع

    بحث غیررسمی[ویرایش]

    فرض کنید A و B دو مجموعه باشند. در این صورت طبیعی است که بخواهیم اعضای دو مجموعه مفروض را در یک مجموعه فراگیر به صورت توأم در اختیار داشته باشیم. یکی از راه‌های توصیف چنین مجموعه فراگیری در صورت وجود این است که شرط کنیم این مجموعه همه عناصری را که حداقل به یکی از دو عضو زوج {A,B} تعلق دارند، شامل باشد. توجه کنید که {A,B} بنابر اصل موضوع زوج سازی یک مجموعه است.

    این نحوه فرمول بندی، خود به خود نوعی تعمیم وسیع را به ذهن راه می‌دهد، بدین صورت که چنین ساختمانی، نه فقط برای یک زوج مجموعه، بلکه در مورد هر دسته دلخواه از مجموعه‌ها قابل اعمال است. به عبارت دیگر فرض کنید C دسته‌ای دلخواه از مجموعه‌ها باشد. آیا می‌توان مجموعه‌ای فراگیر در اختیار داشت که شامل همه عناصری باشد که به حداقل یک عضو C متعلق باشند؟

    برای پاسخ به این سؤال به اصل مجموعه ساز جدیدی به نام اصل موضوع اجتماع (Axiom of union) نیاز داریم.

    اصل موضوع اجتماع[ویرایش]

    اصل موضوع اجتماع بیان می‌کند:

    یا به بیان دیگر برای هر دسته دلخواه از مجموعه‌ها، مجموعه‌ای وجود دارد که شامل همه عناصری است که حداقل به یکی از مجموعه‌های دسته مفروض متعلق باشند.

    به بیان دیگر اگر C دسته‌ای از مجموعه‌ها باشد، مجموعه‌ای چون U وجود دارد که اگر X∈C موجود باشد به‌طوری‌که x∈X آنگاه x∈U.

    اما توجه داشته باشید که مجموعه فراگیر U که تا به حال وجود آن را بر اساس اصل موضوع اجتماع تضمین کرده‌ایم، ممکن است بیش از مورد نیاز فراگیر باشد و شامل عناصری باشد که به هیچ‌یک از عناصر X در دسته C متعلق نباشند چرا که اصل موضوع اجتماع بیان می‌کند U شامل عناصر مجموعه‌های X در C است ولی تضمین نمی‌کند که این مجموعه شامل اعضای دیگری نیست.

    برای رفع این مشکل و ایجاد مجموعه‌ای که دقیقاً شامل همه عناصری باشد که به حداقل یکی از مجموعه‌های دسته C متعلق باشند کافی است اصل موضوع تصریح را به کار گرفته و مجموعه:

    را تشکیل دهیم. در این صورت شرط لازم و کافی برای اینکه x∈U ای متعلق به این مجموعه باشد این است که X∈C ای موجود باشد که x∈X(یعنی x به حداقل یکی از مجموعه‌های دسته C متعلق باشد.) به زبان منطق ریاضی داریم:

    اصل موضوع گسترش یگانگی این مجموعه را تضمین می‌کند و لذا می‌توان برای آن نام و نماد مخصوصی را اختصاص داد. این مجموعه را اجتماع دسته C از مجموعه‌ها می‌خوانیم و با نمادهای C {\displaystyle \cup {\mathcal {C}}} و A C A {\displaystyle \cup _{A\in {\mathcal {C}}A}} نمایش می‌دهیم و مطابق تعریف

    اگر دسته C از مجموعه‌ها، تهی باشد در این صورت مطابق تعریف اجتماع آن نیز تهی خواهد بود. پس اجتماع دسته‌ای تهی از مجموعه‌ها تهی است. همچنین اگر A و B دو مجموعه باشند، دسته {C={A,B بنابر اصل موضوع زوج سازی یک مجموعه است و نیز بنابر اصل موضوع اجتماع مجموعه U شامل همه عناصری که به حداقل یکی از مجموعه‌های C متعلق می‌باشند وجود دارد. در این صورت اجتماع دسته C را اجتماع دو مجموعه A و B می‌گوییم و آن را به صورت A∪B نشان می‌دهیم و داریم:

    پس بنا به تعریف {A∪B={x:x∈A∨x∈B. و لذا داریم:

    با توجه به تعاریف فوق روابط زیر را داریم (اثبات این روابط با استفاده از تعاریف ساده است. البته بر هر علاقه‌مند ریاضی واجب است که حداقل یکبار آن‌ها را اثبات کند)

    اشتراک مجموعه‌ها[ویرایش]

    حال فرض کنید A و B دو مجموعه باشند. در این صورت ممکن است این سؤال پیش بیاید که آیا مجموعه‌ای وجود دارد که شامل همه عناصری باشد که هم در A و هم در B وجود دارند. پاسخ مثبت است.

    می‌توان مجموعه {x∈A:x∈B} یا مجموعه {x∈B:x∈A} را تشکیل داد که به آن اشتراک دو مجموعه A و B می‌گوییم و آن را به صورت A∩B نشان می‌دهیم. حال اگر A و B دو مجموعه باشند برطبق اصل موضوع اجتماع مجموعه U شامل همه عناصر متعلق به A یا B وجود دارد. حال می‌توان اشتراک A و B را به صورت مجموعه {A∩B={x:x∈A∧x∈B تعریف کرد. واضح است که از این تعریف نتیجه می‌شود x∈A∩B اگر و فقط اگر x∈A و x∈B. یا به نماد ریاضی:

    همانند خواصی که برای اجتماع بیان کردیم خواص زیر را در مورد اشتراک داریم:

    حال ممکن است این سؤال پیش بیاید که همان‌طور که اجتماع دسته C از مجموعه‌ها را به عنوان تعمیمی از اجتماع یک جفت مجموعه تعریف کردیم می‌توان مفهوم اشتراک را نیز برای دسته‌ای از مجموعه‌ها تعمیم دارد؟

    فرض کنید C دسته‌ای از مجموعه‌ها باشد و بخواهیم مجموعه‌ای را داشته باشیم که دقیقاً شامل همه عناصری باشد که به هر یک از مجموعه‌های دسته C متعلق باشند یعنی مجموعه‌ای که دقیقاً شامل عناصر مشترک میان مجموعه‌های متعلق به C باشد. آیا چنین مجموعه‌ای وجود دارد؟

    پاسخ به این سؤال تاحدی شبیه به پاسخی است که در مورد اجتماع دسته C از مجموعه‌ها داده شد با این تفاوت که در تشکیل این مجموعه احتیاطی خاص لازم است. اگر C دسته‌ای از مجموعه‌ها باشد در این صورت بدیهی است که C می‌تواند تهی یا ناتهی باشد. ابتدا حالت دوم را که به نظر سر راست می‌رسد بررسی می‌کنیم:

    چون C ناتهی است پس یک مجموعه چون A وجود دارد که A∈C. حال با به کارگیری اصل موضوع تصریح مجموعه V را به صورت {برای هر x∈A: x∈X; X∈C} تشکیل می‌دهیم و این مجموعه دقیقاً همان مجموعه مورد نظر ماست چرا که دقیقاً شامل عناصری است که به هریک از مجموعه‌های X در C متعلق‌اند یعنی x∈V اگر و فقط اگر برای هر X (اگر X∈C آنگاه x∈X) حال سعی می‌کنیم مجموعه ارائه شده را به گونه‌ای بهتر معرفی کنیم چرا که وابستگی V به A پنداری بیش نمی‌باشد و V مستقل از A قابل تعریف است.

    بنابر اصل موضوع اجتماع کلیه عناصر موجود در مجموعه‌های دسته C را می‌توان در مجموعه‌ای چون U (اجتماع دسته C) یافت. حال مجموعه {برای هر x∈U: x∈X; X∈C} را تشکیل می‌دهیم. اصل موضوع گسترش یگانگی این مجموعه را تضمین می‌کند و آن را اشتراک دسته C از مجموعه‌ها می‌نامیم و همانند اجتماع آن را به صورت C {\displaystyle \cap {\mathcal {C}}} یا A C A {\displaystyle \cap _{A\in {\mathcal {C}}A}} نشان می‌دهیم. پس پاسخ سؤال مطرح شده در حالتی که C ناتهی است مثبت است.

    بیاید فرض کنیم C {\displaystyle \cap {\mathcal {C}}} مجموعه باشد. در این صورت بر طبق تعریف C = A A {\displaystyle \cap {\mathcal {C}}=\cap _{A\in \varnothing }A} . حال برای اینکه این مجموعه را بشناسیم کافی است بدانیم که دارای چه عناصری است.عنصر x به این مجموعه متعلق است اگر و فقط اگر برای هر X متعلق به تهی، x∈X برای تعیین عناصر این مجموعه طبق معمول سؤال‌های در مورد مجموعه تهی ببینیم چه عناصری در این مجموعه قرار نمی‌گیرند و در شرط مجموعه صدق نمی‌کنند؟

    اگر برای هر X در تهی، x∈X درست نباشد، در این صورت باید X در تهی باشد چنان‌که x به X متعلق نباشد ولی چنین چیزی محال است چون تهی اصلاً هیچ X ای در تهی وجود ندارد. پس هیج x ای نیست که نتواند در شرط مذکور صدق کند و نتیجتاً هر x در این شرط صدق می‌کند و به عبارت دیگر مجموعه‌ای که ما تعریف کردیم مجموعه‌ای جامع است که شامل همه چیز است که می‌دانیم چنین مجموعه‌ای وجود ندارد(ر. ک پارادکس راسل). پس در حالتی که دسته C تهی باشد اشتراک دسته C از مجموعه‌ها وجود ندارد.

    به این ترتیب تا اینجا متوجه شدیم که:

    برای هر دسته ناتهی از مجموعه‌ها، مجموعه‌ای چون V وجود دارد که دقیقاً شامل همه عناصری است که به هریک از عناصر مجموعه C متعلق باشند و این مجموعه اشتراک دسته غیر تهی از مجموعه‌ها است.

    اما اینکه ما، فقط به این دلیل که در جایی از کارمان ممکن است مجموعه‌ای تهی از کار در آید، دائم مجبور باشیم قید و استثنا قایل شویم اسباب درد سر است. فرض کنید C دسته‌ای از مجموعه‌ها باشد. در این صورت اگر فرض کنیم اعضای C همگی زیرمجموعه مجموعه مفروضی چون U هستند در هر حال چه C تهی باشد و چه نباشد با معنی است و در حالتی که C تهی باشد برابر خود U است. ب این ترتیب به سؤال مربوط به اشتراک نیز پاسخ دادیم.

    جستارهای وابسته[ویرایش]

    منابع[ویرایش]

    منبع مطلب : fa.wikipedia.org

    مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه سیاه بالای سایت را مطالعه کنید.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    m_sadra.s 16 روز قبل
    1

    بسیار عالی یک فصل ریاضی نهم رو داخل یک فیلم توضیح دادید البته لطف کنید کامل ترش کنید یعنی علامت های زیر مجموعه و ... بهش اضافه کنید چون داخل کتاب توضیح داده شده و هرکی این فیلم رو ببینه بهش نیاز داره

    ه 6 ماه قبل
    0

    بع در عمه ت می ارزید

    پایه نهم 7 ماه قبل
    0

    توضیحاتش خوب بود مرسی🌺

    مهدی 2 سال قبل
    0

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    1
    محمدامین بلوچزهی 1 ماه قبل

    عالییی👌👌👌

    برای ارسال نظر کلیک کنید